ریاضیات پادشاه علم ها

سطحی از دانش ریاضی مورد نیاز هر معامله گری است و این موضوع نیازی به اثبات ندارد.

در مسیر رشد و کسب تجربه، بیشتر معامله گران معمولا به تنهایی عمل می کنند. برخی از کتابها و نوشته ها به سطح پایینی از دانش ریاضی احتیاج دارند ولی برخی دیگر بطور عمیق تری وارد این حیطه شده و یا باعث می شوند خواننده دانسته های پیشین خود را دوباره مرور کند. در این مقاله سعی ما بر این است برآورد ها و ارزیابی های ریاضی-آماری را با تفسیر آنها ارائه دهیم.

از بین دو مقدار ضرر کمتری را انتخاب کنید

تعداد ریاضیدان ها از تعداد معامله گران موفق بیشتر است. این استدلالی است که معمولا در برابر کسانی که مخالف به کارگیری محاسبات پیچیده در معامله گری هستند از آن استفاده می شود. می توان گفت که معامله گری صرفا یادگیری و پیشرفت در مهارت های تحلیلی نیست، بلکه توانایی دیدن قواعد و نظم بازار نیز هست.

گذشته از این، نظریه ای که بتواند به طور دقیق قیمت گذاری در بازار های مالی را شرح دهد تا کنون ارائه نشده است و فکر می کنم چنین نظریه ای هرگز ارائه نخواهد شد. حتی از منظر فلسفی خلق چنین ایده ای می تواند به معنای زوال بازارهای مالی باشد که این موضوع خود یک پارادوکس است. ما با این مواجه هستیم که آیا اگر با سطح کمی از دانش ریاضی یا حتی بدون هیچ دانش ریاضی وارد بازار شویم می توانیم جلوی ضرر را بگیریم؟ در حقیقت ما با روش های ریاضی-وار ارزیابی سیستم های معاملاتی سروکار داریم.

غیرعادی بودن توزیع نرمال چیست؟

یکی از مفاهیم اساسی در نظریه احتمالات مفهوم توزیع نرمال است.اما چرا توزیع نرمال نامیده شده؟ بسیاری از فرآیندها و وقایع طبیعی و حتی اغلب آنها در حیطه و محدوده توزیع نرمال قرار داشته و از قوانین آن پیروی می کنند.به عنوان مثال، فرض کنید یک توزیع یکنواخت یا پیوسته در فاصله 0 تا 100 داریم. توزیع یکنواخت یعنی احتمال انتخاب همه مقدارها با هم برابر هستند.مثلا احتمال انتخاب 3.14 در فاصله یاد شده برابر است با احتمال انتخاب 77 . کامپیوترها می توانند در ایجاد توالی های خوب از اعداد شبه تصادفی به انسان کمک کنند.اما چطور می توانیم توزیع نرمال یک مجموعه انتخابی از توزیع یکنواخت را محاسبه کنیم؟

اگر ما هربار تعدادی عدد تصادفی مثلا 5 عدد را از توزیع یکنواخت انتخاب کنیم و در صورتی که این اعداد انتخابی زیاد شوند، توزیع به دست آمده جدید، توزیع نرمال خواهد بود. قضیه حد مرکزی می گوید این رابطه نه تنها برای نمونه هایی که از یک توزیع یکنواخت برداشته می شوند صدق می کند، بلکه برای بسیاری از توزیع های دیگر نیز صادق است.از آنجایی که درباره ویژگی های توزیع نرمال مطالعات گسترده و خوبی انجام شده، تجزیه و تحلیل داده ها و فرآیندها به شرط آنکه در غالب توزیع نرمال ارائه شوند، کار ساده تری خواهد بود. می توانیم تصدیق قضیه حد مرکزی را بوسیله اندیکاتوری در  MQL4 ببینیم.

وقتی که اندیکاتور را با مقادیر   N  متفاوت روی چارت قرار می دهیم متوجه میشویم که (با افزایش مقدارN  ) نمودار توزیع نرمال مسطح تر می شود.

اندیکاتور از یک توزیع یکنواخت و یک توزیع نرمال ساخته شده است

N   در اینجا نشان دهنده تعداد دفعاتی است که ما گروه های 5 تایی اعداد را از یک توزیع یکنواخت بین فاصله 0 تا 100 انتخاب کرده ایم و از آنها میانگین گرفته ایم.

حاصل 4 نمودار است که بسیار شبیه به هم هستند. حال اگر داده ها را نرمال سازی کنیم حقایق جالب توجهی درباره توزیع نرمال متوجه می شویم. از جمله موارد استثنایی که جامعیت قوانین توزیع نرمال را زیر سوال می برد تغییرات قیمتی در بازارهای مالی است که به طور کامل از قوانین توزیع نرمال تبعیت نمی کند.احتمال وقایع بسیار نادر ،مثلا افت 50 درصدی قیمت ،هرچند کم، اما در بازارهای مالی وجود دارد.و این احتمال به طرز قابل ملاحضه ای بیشتر از آن چیزی است که در توزیع نرمال پیش بینی شده است. از این رو کسی که ریسک بازار را با استفاده از تابع توزیع نرمال برآورد می کند باید به این نکته واقف باشد.

تبدیل کمیت به کیفیت

تعداد داده ها در توزیع نرمال بسیار حائز اهمیت است.تعداد داده های بیشتر نتایج معتبرتری را به همراه دارد. کمترین تعداد داده ای که می توانیم با آن کار را آغاز کنیم 30 است.یعنی اگر بخواهیم نتایج یک سیستم معاملاتی را بررسی کنیم، در صورتی که تعداد داده های نمونه ما کمتر از 30 عدد باشد نتیجه به هیچ عنوان قابل اعتماد نیست. تعداد داده بیشتر باعث کاهش اثرگذاری داده های پرت می شود. مثلا سود حاصل از یک سری 150تایی از داده ها(در اینجا منظور از داده، معامله است) بسیار قابل اتکاتر از یک سری 15تایی از داده هاست.

امید ریاضی و پراکندگی به عنوان شاخص های تخمین ریسک

دوتا از مهمترین شاخص های توزیع ، امید ریاضی(میانگین) و پراکندگی هستند. امید ریاضی تابع توزیع نرمال صفر است همچنان که نقطه مرکزی نمودار تابع توزیع نرمال نیز صفر است. پهنا و کشیدگی نمودار توزیع نرمال بوسیله مقادیر داده در داخل محدوده امید ریاضی(محدوده زیر نمودار) مشخص می شود. همچنین شاخص پراکندگی چگونگی پراکنش داده ها در اطراف میانگین را نشان میدهد.

مقدار امید ریاضی به سادگی قابل اندازه گیری است: برای مقادیر قابل شمارش، جمع همه مقادیر تقسیم بر تعداد آنها. برای مقادیر غیر قابل شمارش از انتگرال تابع زیر منحنی توزیع نرمال. جهت بدست آوردن امید ریاضی مجموعه ای از معاملات ؛ ابتدا نتایج حاصل از معاملات را با هم جمع میکنیم و سپس بر تعداد معامله ها تقسیم میکنیم. عدد بدست آمده میانگین نتیجه ای است که ما از هر معامله انتظار وقوع آن را داریم.اگر امید ریاضی مثبت باشد، سیستم معاملاتی به طور میانگین سودده بوده و اگر منفی باشد ضررده.

نمودار چگالی تابع توزیع نرمال

برای بدست آوردن شاخص پراکندگی کافی است اختلاف هر داده را از امید ریاضی محاسبه کرده و به توان 2 برسانیم. سپس مقادیر بدست آمده را باهم جمع کنیم.اگر امید ریاضی را M(x) بنامیم، پراکندگی از چنین فرمولی بدست می آید:D(x)=M((x-M(x)^2)  .ریشه دوم شاخص پراکندگی، انحراف استاندارد نامیده و با نماد (σ) نمایش داده میشود. یک تابع توزیع نرمال ، امید ریاضی برابر 1 و انحراف استاندارد برابر 1 دارد.هرچه انحراف معیار بیشتر باشد تغییرات سرمایه بیشتر و در نتیجه ریسک بیشتر است.

اگر امید ریاضی یک سیستم معاملاتی مثبت بوده و برابر 100 باشد و انحراف استاندارد برابر با 500 باشد بدان معنی است که برای هر 100 دلار سود 500 دلار ریسک کرده ایم که عددی بسیار بالاست و البته نامطلوب. برای مثل به 30 داده زیر توجه کنید:

برای به دست آوردن امید ریاضی این مجموعه از داده ها(معامله ها) باید مقادیر نتایج معامله ها را با هم جمع و تقسیم بر 30 کنیم. عدد به دست آمده برابر است با   M(x)=4.26$. برای بدست آوردن انحراف استاندارد باید مقدار M(X)  را از تک تک داده ها کم کرده و جواب ها را به توان 2 برسانیم. سپس کلیه مقادیر حاصل را باهم جمع کرده و تقسیم بر29 کنیم(تعداد کل داده ها منهای یک). با این تفاسیر پراکندگی برابر خواهد بود با 9353.623$ که مجذور آن برابر است با 96.71 $.

این اعداد به ما چه میگویند؟ M(x)= 4.26    و انحراف استاندارد برابر با 96.71 نسبت خوبی بین ریسک و بازده نیست.نمودار زیر نیز بخوبی این مطلب را تصدیق می کند.(اشاره به پراکندگی زیاد داده ها دارد)

نمودار نتایج معامله ها

آیا تصادفی معامله کرده ام؟

این تصور که سود به دست آمده حاصل مجموعه ای از معاملات تصادفی است به فکر بیشتر معامله گران رسیده. صرف زمان زیاد برای جستجوی یک سیستم معاملاتی موفق و مشاهده اینکه آن سیستم در یک دوره زمانی محدود(بک تست) کارایی دارد، سبب می شود معامله گر فکر کند رویکرد و دید مناسبی نسبت به بازار پیدا کرده است. چگونه می توان تصور کرد همه اینها تصادفی بوده؟تصور تصادفی بودن چنین شرایطی احمقانه است. با این وجود نیاز است نتایج را بصورت عینی ارزیابی کنیم.در اینجا توزیع نرمال دوباره به کار می آید.

ما نمی دانیم هر معامله ای چه نتیجه ای در پی دارد.صرفا میتوانیم بگویم سودده است یا ضررده. تناوب سود و زیان در سیستم های مختلف به شکل متفاوتی وجود دارند. مثلا اگر (احتمال)سود مورد انتظار ما از یک معامله 5 برابر (احتمال)ضرر مورد انتظار(حد ضرر) باشد منطقی خواهد بود اگر نتیجه بگیریم که معاملات سود ده بر معاملات ضررده غالب هستند. .عدد Z  به ما کمک میکند تا تخمین بزنیم که با چه تناوبی معاملات سودده پس از معاملات ضررده می آیند.

Z برای سیستم های معاملاتی با این فرمول محاسبه می شود:

Z=(N*(R-0.5)-P)/((P*(P-N))/(N-1))^(1/2)

N= مجموعه تعداد معاملات در یک توالی

R= تعداد تناوب های سودده و ضررده

P= Z*W*L

W= تعدادکلی معاملات سودده یک توالی

L= تعداد کلی معاملات ضررده یک توالی

مجموع علامت های + متوالی را یک تناوب سودده میگویند و مجموع علامت های – متوالی را یک تناوب ضررده. (مثلا (+++) یک توالی سوده است که سه معامله پشت سرهم سود را شامل میشود).

مقایسه دو توالی از سودها و ضررها

درشکل4 قسمت آبی رنگ بخشی از توالی سودها و ضررهای یک ربات معامله گری است که در جایگاه نخست رقابت های رباتهای معامه گری سال 2006 قرار گرفته است. عدد Z  ای شرکت کننده برابر با      -3.85 و احتمال آن 99.74 درصد است.یعنی به احتمال 99.74 درصد معاملات این شرکت کننده وابستگی مثبت دارند، یک معامله سودده پس از یک معامله سوده و یک ضررده پس از یک ضررده؟

بخش قرمز رنگ یک ترکیب رایج از مقادیر مثبت و منفی (سودده و ضررده) در یک توزیع نرمال است.می توانیم تفاوت این دو توالی را مشاهده کنیم.اما چطور میتوانیم مقدار این تفاوت را اندازه گیری کنیم؟ عددZ جواب این پرسش است: حال آیا ترکیب سودها و ضررهای شما شامل تعداد بیشتر یا کمتری از سودها و ضررها نسبت به یک ترکیب تصادفی واقعی بدون هیچ وابستگی بین معاملات است؟ اگر عدد Z نزدیک به صفر باشد می توانیم بگوییم توزیع معاملات همانند توزیع نرمال است. عدد Z یک توالی معاملات مارا از وابستگی احتمالی داده ها( معاملات) در یک توالی پی در پی از معاملات آگاه می سازد.

مقدار  Z را میتوان به عنوان احتمال انحراف از صفر در یک توزیع مقادیر تصادفی براساس توزیع نرمال استاندارد تفسیر کرد. 0=µ و 1= σ. از آنجایی که احتمال وجود یک داده در توزیع نرمال در فاصله σ3 برابر با 99.74 درصد است، در صورتی که یک داده خارج از ناحیه σ3 باشد می توان گفت آن داده مربوط به توزیع نرمال استاندارد نیست. قانون 3 سیگما می گوید: یک داده تصادفی نرمال بیشتر از فاصله 3 سیگما از میانگین داده ها فاصله ندارد.

عدد Z ما را از وجود وابستگی احتمالی آگاه می سازد. مقادیر مثبت برای Z  بدین معنی ست که پس از یک معامله سودده باید منتظر یک معامله ضررده بود و برعکس. مقادیر منفی Z  یعنی پس از معامله سودده ، معامله سودده دیگری داریم و پس از معامله ضررده معامله ضررده دیگری.جدول زیر نشان دهنده نوع و احتمال وابستگی بین معاملات در مقایسه با توزیع نرمال است:

وابستگی مثبت بین معاملات یعنی پس از معامله سودده ، معامله سودده دیگری داریم و پس از یک معامله ضررده، معامله ضررده دیگری.با استفاده از معیار وابستگی میتوانیم مقدار ایده آل سرمایه ورودی به معامله(حجم معامله) را تعیین کنیم.

بازده دوره نگهداری HPR

رالف وینس در کتابش، ریاضیات در مدیریت مالی، از نظریه HPR استفاده کرده است.معامله ای با سود 10 درصد، HPRای برابر با 1.1 دارد(1+0.1) و با ضرر 10 درصد HPRای برابر با 0.9(1-0.1). فرمول محاسبه HPR  برای یک معامله به این شکل است: Balance Close/Balance Open.

بنابراین هر معامله را از دوجنبه می توان بررسی کرد، یکی نتیجه ای که بر پول دارد و دیگری نتیجه براساس HPR. این روش به ما اجازه میدهد که سیستم های معاملاتی را به صورت مستقل باهم مقایسه کنیم. یکی از شاخص هایی که در چنین مقایسه هایی کاربرد دارد میانگین حسابی بازده دوره نگهداری است(AHPR). برای محاسبه AHPR باید همه HPRهای حاصل معاملات را باهم جمع کرده و سپس تقسیم بر تعداد معاملات کنیم. در اینجا این محاسبات را برای مثال قبل(30 معامله) انجام میدهیم. فرض را براین میگذاریم که معاملات با مبلغ 500$  آغاز شده است:

برای داده های مذکور، AHPR برابربا 1.0217 می باشد. یعنی بطور متوسط در هر معامله 2.17% سود برده ایم((1.0217-1)*100%=2.17%). اگر 2.17% را در 30 ضرب کنیم خواهیم دید که درآمد در انتها چیزی برابر با 65.1 درصد میشود.حال اگر سرمایه اولیه را(500 $) در 65.1 % ضرب کنیم، عدد 325.5 $ حاصل خواهد شد.درهمین حال سود واقعی چنین بوده:

(627.71-500)/500*100%=25.54%.

بنابراین AHPR در تخمین دقیق سود حاصل کارآمد نیست.

در کنار AHPR رالف نظریه میانگین هندسی را نیز معرفی کرد، GHPR، که همواره عددی کوچکتر تر از AHPR  است.میانگین هندسی میزتن رشد سرمایه طی هر معامله را با فرمول زیر محاسبه میکند:

GHPR=(Balance Close/Balance Open)^(1/N)

که

N= تعداد معاملات

Balance Open= سرمایه اولیه

Balance Close= سرمایه پایانی

در صورتی که با روش سرمایه گذاری مجدد عمل کنیم، سیستمی که بیشترین مقدار GHPR را دارد، بیشترین سود را خواهد داد. GHPR  کوچکتر از یک بدین معناست که با روش سرمایه گذاری مجدد، در انتها ضرر خواهیم کرد. مثال خوبی از تفاوت مابین AHPR  و GHPR را در اکانت sashken’s داریم. جایی که او برای مدت زیادی نفر نخست مسابقات بود، با AHPR= 9.98% .اما در نهایت مسابقات را با GHPR= -27.68%  به پایا ن رساند.

نسبت شارپ

بازده سرمایه گذاری ها غالبا درکنار پراکندگی سودهایشان(ریسک) ارزیابی می شود. یکی از شاخص های اندازه گیری بازده نسبت شارپ است. این شاخص بیان میکند که AHPR  چگونه بوسیله بازده بدون ریسک(RFR) تعدیل می شود و همچنین بیان می کند AHPR چه رابطه ای با انحراف استاندارد HPR ها دارد. مقدار بازده بدون ریسک عموما برابر با نرخ بهره بانکی یا نرخ بهره اوراق خزانه تعهد شده است. در مثال ما :

AHPR=1.0217

RFR=0

SD(HPR)=0.17607

Sharpe Ratio=(AHPR-(1+RFR))/SD

که:

AHPR= میانگین حسابی بازده دوره نگهداری

RFR= نرخ بازده بدون ریسک

SD= انحراف استاندارد

نسبت شارپ برابر است با (1.0217-(1+0))/0.17607=0.0217/0.17607=0.1232. در یک توزیع نرمال بیش ار 99 درصد مقادیر داده ها در محدوده σ3 از میانگین قرار دارند.یعنی مقادیر بیش از 3 برای نسبت شارپ بسیار مناسب است.در نمودار شماره می بینیم که اگر نتایج معاملات دارای توزیع نرمال باشند و نسبت شارپ برابر با 3 باشد، بر اساس قانون 3 سیگما، احتمال ضرر کردن کمتر از 1 درصد است.

حساب یکی از شرکت کنندگان در رقابت های معاملات اتوماتیک سال 2006 این نظریه را تایید می کند.  RobinHood با نسبت شارپ 3.07 هیچ معامله ضرردهی را تجربه نکرده بود.

رگرسیون خطی و ضریب همبستگی

ثبات نتایج یک سیستم معاملاتی را  از راه های دیگری نیز می توان برآورد کرد. نسبت شارپ ریسک سرمایه در گردش را نشان می دهد. ما حتی می توانیم میزان شیب خط نمودار بالانس ها را نیز محاسبه کنیم. اگر مقادیر بالانس ها را بعد از بستن هر معامله روی نمودار با نقطه هایی مشخص کنیم و آنگاه نقطه ها را به هم وصل کنیم، نمودار مقادیر بالانس هار را خواهیم داشت.می توانیم با رسم خط راستی از میان آن نقاط، که نشان دهنده میانگین تغییرات سرمایه است، آن را معنادارتر کنیم. در ادامه مثالی از استفاده از نمودار بالانس را که داده های آن از اکسپرت  Phoenix_4استخراج شده را خواهیم دید.

نمودار بالانس Hendrick. از شرکت کنندگان مسابقات سال 2006

ضرایب a و b باید به گونه ای باشند که از نزدیک ترین به نقاط بالانس عبور کنند. رد این مثال x تعداد معاملات و y مقدار بالانس بعد از بستن هر معامله است.

شیب خط رگرسیون اغلب از روش کمترین مجذور(LS Method) بدست می آید.فرض کنید خطی با ضرایب(شیب و عرض از مبدا) a  و b داریم. برای هر x  دو مقدار داریم:   y(x)=a*x+bو بالانس(x). انحراف بالانس ها از y(x)ها به شکل d(x)=y(x)-balance(x) نشان داده میشود. SSD(مجموع مجذور انحرافات) به این شکل محاسبه میشود: SD=Summ{d(n)^2}. محاسبه خط رکرسیون با روش LS  بدین معناست که a  و b را طوری تعیین کنیم که SD  را حداقل سازد.

انحراف مقادیر بالانس از خط رگرسیون

با بدست آوردن ضرایب خط رگرسیون و رسم آن، می توانیم مقدار انحراف داده ها را از رگرسیون به دست آوریم. در صورتی که میانگین حسابی d(x)ها را حساب کنیم، به این نکته پی خواهیم برد که М(d(x)) تقربیا نزدیک به صفر است( اگر با دقت بسیار بالا محاسبات را انجام دهیم، این مقدار دقیقا برابر صفر خواهد شد). مجذور  SD/(N-2) نشان دهنده پراکندگی مقادیر بالانس در اطراف خط رگرسیون می باشد که به ما امکان می دهد سیستم های معاملاتی با مقادیر سرمایه اولیه یکسان را با هم مقایسه کنیم.به این پارامتر، خطای استاندارد رگرسیون خطی می گویند.

در زیر مقادیر این پارامتر مربوط به 15 نفر برتر مسابقات سال 2006 آمده است:

مقدار نمودار بالانس را میتوان به واحد پول(مثل بالا) و یا بطور مطلق محاسبه کرد. بدین منظور باید از نرخ همبستگی استفاده کنیم. نرخ یا ضریب همبستگی (r)  به میزان همبستگیو ارتباط دوگروه از داده ها گفته میشود و مقدار آن در محدوده -1 تا +1 نوسان میکند. R= +1 بدین مفهوم است که داده ها با هم همبستگی مثبت داشته و رفتار آنها کملا با هم یکسان است(از نظر جهت و شدت تغییرات یکسان هستند) و اگر r=-1 باشد داده ها خلاف جهت حرکت یگدیگر حرکت می کنند(از نظر جهت، معکوس اما از نظر شدت، یکسان).

همبستگی مثبت

همبستگی منفی

اگر r=0  باشد، یعنی هیچ نوعی از همبستگی بین دو گروه از داده ها پیدا نشده.تاکید میکنیم که r=0 بدین مفهوم نیست که هیچ همبستگی بین داده ها وجود ندارد بلکه بدین معناست که هیچ نوع همبستگی پیدا نشده است. در نمونه ما، دو گروه از داده ها با هم مقایسه میشوند:

مقادیر بالانس و خط رگرسیون

در جدول زیر این اطلاعات نمایش داده شده است:

در اینجا مقادیر بالانس را x و و رگرسیون خطی را y در نظر میگیریم. برای محاسبه ضریب همبستگی خطی x  و y باید ابتدا میانگین مقادیر x و y  را محاسبه کنیم.سپس با استفاده از فرمول  T=(X-M(X))*(Y-M(Y)) مقادیر را محاسبه کرده و در فرمول  M(T)=cov(X, Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y))) قرار میدهیم تا مقدار کوواریانس x,y را بدست آوریم.در واقع کوواریانس ، امید ریاضی مقادیر بدست آمده از فرمول T  است. در مثال مورد بررسی ما cov= 21253775.08  است. توجه داشته باشد که مقادیر M(x)  و M(y) در مثال ما با هم برابر و مساوی 21382.26 هستند. در واقع میانگین مقادیر بالانس و رگرسیون خطی با هم برابر هستند.

T=(X-M(X))*(Y-M(Y))

M(T)=cov(X,Y)=M((X-M(X))*(Y-M(Y)))

که

X= بالانس

Y= رگرسیون خطی

M(x)= میانگین بالانس

M(y)= میانگین رگرسیون خطی

تنها چیزی که برای محاسبه باقی مانده مقادیر Sx و Sy هستند. برای محاسبه Sx باید ابتدا جمع مقادیر (X-M(X))^2 را محاسبه کنیم، محاسبه SSDx(مجموع مجذور پراکندگی xها) براساس میانگین x ها. چگونگی محاسبه پراکندگی و الگوریتم LS  را بخاطر بیاورید.جمع مقادیر SSx را باید به تعداد داده های مجموعه تقسیم کرد، در مثال 36(از 0 تا 35) و سپس جذر مقادیر حاصل را محاسبه کرد. نتیجه، Sx(انحراف معیار) داده های ماست. Sy نیز به همین تریتب به دست می آید. در این مثال Sx= 5839. 098245 و   .Sy= 4610. 181675

Sx=Summ{(X-M(X))^2}/N

Sy=Summ{(Y-M(Y))^2}/N

r=cov(X,Y)/(Sx* Sy)

که

N= تعداد معاملات

X= بالانس

Y= رگرسیون خطی

M(x)= میانگین بالانس ها

M(y)= میانگین رگرسیون خطی

حال میتوانیم ضریب همبستگی را محاسبه کنیم:

r=21 253 775.08/(5839. 098245*4610. 181675)=0.789536583

مقدار زیر 1 است اما با 0 فاصله قابل توجهی دارد. بنابراین میتوان گفت همبستگی نمودار بالانس با خط رگرسیون مقدار 0.79 است. در مقایسه دیگر سیستم ها خواهیم آموخت که مقدار ضریب همبستگی چگونه تفسیر میشود. در قسمت Report مسابقات این پارامتر همبستگی LR نامیده میشود. تنها تفاوت محاسبات ما با محاسبات مسابقات این است که در مسابقات این شاخص بر اساس سود محاسبه میشود ولی اسا کار ما مقادیر بالانس اکانت میباشد.

نکته مهم دیگری که وجود دارد این است که ما میتوانیم ضریب همبستگی را بین نمودار بالانس و هر نمودار دیگری محاسبه کنیم.

مثلا میتوانیم این شاخص را در مقایسه با خط روند صعودی محاسبه کنیم ، بنابراین اگر همبستگی LR بالای 0 باشد معامله سودآور است و اگر زیر 0 بود معامله ضررده خواهد بود. گاهی اتفاق جالبی که می افتد این است که کعامله سودده است اما همبستگی LR زیر 0. در این حال سیستم، در نهایت ضررده خواهد بود. تقریبا چنین حالتی را در اکانت  Aver’sداریم.مجموع سود خالص 2642 $ و ضریب همبستگی LR -0.11 است، در اینجا تقریبا میتوان گفت که همبستگی وجود ندارد(چون عدد بسیار نزدیک به 0 است)، بدین معنا که نمیتوان درباره سوآوری سیستم قضاوت کرد.

 MFE و MAE  حرف های زیادی برای گفتن دارند

اغلب می گویند: جلوی ضرر را بگیرید و به سود ها اجازه رشد دهید. اگر فقط نتیجه نهایی معاملات را در نظر بگیریم، نمیتوانیم به این نکته پی ببریم که آیا حد ضرر(stop loss) یا حد سود (take profit) موثری در معاملات وجود داشته یا نه.ما فقط اطلاعات پوزیشن های باز، پوزیشت های بسته و سود و ضرر نهایی را مشاهده می کنیم. مانند اینکه شخصی را بر اساس تاریخ تولد و مرگش قضاوت کنیم.

بدون اطلاع از تغییرات سود یک معامله در طول آن معامله و مجموع تغییرات سود و ضرر همه پوزیشن های باز یک اکانت، نمی توانیم درباره ماهیت یک سیستم معاملاتی قضاوت درستی داشته باشیم. اینکه چقدر ریسک دارد؟ چقدر سودده است؟ چقدر سود از دست رفته دارد؟ پاسخ این سوالات را با استفاده ار مفاهیم MAE(بیشترین گردش نامطلوب) و MFE(بیشترین گردش مطلوب) می توانیم پیدا کنیم.

هر معامله ای(تا زمانی که بسته شود) به طور مستمر نوساناتی در سود را تجربه می کند. هر معامله ای طی  دوره باز شدن تا بسته شدن حداکثر سود و حداکثر ضرری را تجربه میکند. MFE حداکثر حرکت قیمت در جهت مطلوب(حداکثر سود) را نشان می دهد.به همین صورت MAE حداکثر حرکت قیمت در جهت نامطلوب(حداکثر ضرر)  را مشخص می کند. با این تفاسیر کاملا منطقی است که این شاخص ها را در واحد point بیان کنیم. اما اگر جفت ارزهای متفاوتی را معامله میکنید بهتر است از واحد پول به جای point استفاده کنید.

هر پوزیشن بسته ای ما بین دو شاخص MFE  و MAE واقع شده است. اگر معامله ای 100$ سود داده است و MAE آن -1000$ است، نمی توان آن را معامله خوبی پنداشت.اگر نتیجه نهایی یک معامله سود باشد اما مقدار MAE  زیادی داشته باشد، یعنی این سیستم صرفا میتواند از ضرر خارج شود. چنین سیستم های معاملاتی درنهایت محکوم به شکست هستند.

همچینین مقدار MFE نیز حاوی اطلاعات مفیدی است. اگر یک پوزیشن را در روند مناسب و خوبی باز کنیم و MFE به 3000$ برسد و در نهایت معامله با 500 $ سود بسته شود، می توان گفت که این سیستم در حفظ و تثبیت سود بدست آمده عاجز است. این موضوع ممکن است سبب شود پوزیشن را زمانی ببندیم که قیمت همچنان می تواند در مسیر مطلوب به صعود ادامه دهد. MFE  در واقع به ما می گوید که سیستم معاملاتی باید بتواند همگام با سود پیشرفت کند.

برای درک بهتر موضوع از نمودارها برای مقادیر MFE و MAE استفاده می کنیم. به این شکل که نتیجه هر معامله را با نقطه ای روی نمودار مشخص می کنیم. برای مثال در اکانت RobinHood که هیچ ضرری ندارد ، می بینیم که هر معامله یک روند از شاخص MAE را تجربه کرده، از 120 $ تا 2500 $.

به علاوه می توانیم از روش LS در رسم خط رگرسیون از میان داده های MAE نیز استفاده کنیم. در شکل بالا خط رگرسیون با شیب منفی نمایش داده شده. پارامتر همبستگی(سود = MAE) بابر است با -0.59 که مارا در ارزیابی چگونگی پراکندگی داده ها در اطراف خط رگرسیون کمک میکند. همجنین مقادیر منفی، شیب منفی خط رگرسیون را نشان میدهند.

اگر به اکانت شرکت کننده های مسابقات نگاهی بیاندازیم خواهیم دید که ضریب همبستگی عموما مثبت است.  در مثال بالا شیب کاهشی خط  موجب افت بیشتر و بیشتر سرمایه می شود تا جلوی معاملات ضررده را بگیرد. حال مقدار ایده آل پارامتر همبستگی LR  را می فهمیم، 1.

همچنین می توانیم همانگونه که مقادیر همبستگی(سود، MFE) 0.77 = و همبستگی (MFE, MAE)=-0.59 را محاسبه کردیم، نمودار توزیع بازده و MFE را هم رسم کنیم. همبستگی(سود، MFE) مثبت است و به سمت 1 میل میکند.این مقدار ما را از عدم تمایل سیستم به خروج از پوزشن هایی که سود در آنها همچنان جای رشد دارد آگاه می کند.همانگونه که ملاحضه کردید مقادیر MFE و MAE و ضریب همبستگی سود با آنها، مارا از ماهیت معامله ، بدون نیاز به نمودار، آگاه می کند.

مقادیر ضرایب همبستگی شرکت کنندگان رقابت ها در بخش Report در قسمت تطلاعات تکمیلی آمده است.

نرمال سازی نتیجه معامله

در هنگام توسعه سیستم های معاملاتی معمولا از مقدار ثابتی از پول در هر پوزیشن استفاده میکنند. این کار بهینه سازی سیستم را ساده تر میکند.اما این روش یک سوال به وجود می آورد: چه اندازه ای از پول باید به کار گرفته شود(حجم معامله چقدر باشد)؟ مقدار سرمایه ای که وارد معامله میشود رابطه مستقیمی با مقدار کل سرمایه موجود دارد.پس منطقی نیست که اندازه معامله در یک اکانت 5000 دلاری و یک اکانت 50000 دلاری هم اندازه باشد. به علاوه، سیستم های مدریت سرمایه معمولا به صورت متناسب رفتار نمیکنند. مثلا حجم پوزیشن ها در یک اکانت 50000 دلاری الزاما 10 برابر اندازه پوزیشن در یک اکانت 5000 دلاری نیست.

اندازه پوزیشن به عواملی همچون فاز کنونی بازار، نتایج آنالیز چند معامله آخرو … بستگی دارد.پس مدریت سرمایه براساس نوع سیستم معاملاتی میتواند تغییر کند. چگونه می توانیم اثرات سیستم مدیریت سرمایه بکار گرفته شده را ارزیابی کنیم؟ آیا مفید بوده یا باعث بدتر شدن جوانب منفی سیستم معاملاتی شده؟ چگونه میتوانیم نتایج چندین اکانت که سرمایه اولیه یکسانی دارند را باهم مقایسه کنیم؟ یک راه حل احتمالی می تواند نرمال سازی نتایج معاملات باشد.

NP= سود معامله/ لات* حداقل لات مجاز

که:

سود معامله= سود معامله به واحد پول

لات= حجم معامله

نرمال سازی به این شکل است: نتیجه هر معامله را تقسیم بر حجم آن معامله کرده  و سپس ضربدر حداقل حجم مجاز معامله میکنیم. برای مثال سفارش  #4399142شامل خرید 2.3 لات USDJPY ، که در قیمت 4056.20 $ بسته شده بود و دارای 118.51 $ سواپ بود که جکعا برابر میشد با 4174.71 $. این مثال از اکانت GODZILLA (Nikolay Kositsin) آورده شده ست. در اینجا 2.3 را در 0.1 ضرب میکنیم و سود نرمال شده را به دست می آوریم. $4 056.20/2.3 * 0.1 = $176.36 به علاوه 5.15 $ سواپ. اگر این کار را برای تمام معاملات انجام دهیم در نهایت سود نرمال سازی شده به دست می آید.

چگونه می توانیم انحرافات سیستم معاملاتی را ارزیابی کنیم؟

با اندازه گیری تاثیرات روس مدیریت سرمایه ای که بکار گرفته ایم، میتوانیم از نرمال سازی سود معاملات استفاده های بیشتری نیز ببریم. کاملا آشکار است که افزایش 10 برابری در حجم معاملات نتیجه متفاوتی را به بار می آورد. نتایج کار معمولا با یک مدل مشخص مقایسه میشود، مثل شاخص بازار سهام. میتوانیم با استفاده از ضریب بتا(6) حاصل کار یک سیستم معاملاتی را شاخص بازار مقایسه کنیم. اگر سودهای نرمال سازی شده را به عنوان یک شاخص درنظر بگیریم آنگاه امکان مقایسه آن با دیکر متغیرها ایجاد میشود.

در ابتدا باید کوواریانس (سود، سود نرمال سازی شده) را حساب کنیم. سود نرمال سازی شده در اینجا NP نامیده میشود. برای محاسبه کوواریانس ابتدا امید ریاضی معاملات نرمال سازی شده را M(NP) را محاسبه میکنیم. M(NP) میانگین نتیجه معامله را برای معاملات نرمال شده نشان میدهد.سپس SSD معاملات نرمال شده را با جمع مقادیر (NP-M(NP))^2 به دست می آوریم.نتیجه حاص بر تعداد معاملات تقسیم میشود که D(NP)  نام دارد.این، شاخص پراکندگی معاملات نرمال سازی شده است. حال این عدد را بر شاخص مورد نظرمان تقسیم میکنیم. نتیجه پارامتری خواهد بود که میزان نوسانات NP را نسبت به شاخص مورد نظر ما بیان میکند. این پارامتر در بخش Report قرار دارد و  Money Compounding نامیده شده است.

MoneyCompounding=cov(Profits, NP)/D(NP)=

M((Profits-M(Profits))*(NP-M(NP)))/M((NP-M(NP))^2)

که:

Profit= نتیجه معامله(چه سود و چه ضرر)

NP= نتایج نرمال شده معاملات

M(NP)= میانگین نتایج نرمال شده

حال میتوانیم در روش خواندن جودل اطلاعات شرکت کنندگان مسابقه معاملات اوتوماتیک 2006 تجدید نظر کنیم.

خطای استاندارد رگرسیون خطی برای برنده مسابقات سال2006 کمترین مقدار مسابقات نبود.همچنین نمودار بالانس سودده ترین اکسپرت ها تقریبا هموار بودند، چراکه همبستگی رگرسیون خطی فاصله زیادی با 1 نداشت. نسبت شارپ نیز عموما عددی بین 0.20 تا 0.40 بود. تنها یک اکسپرت با نسبت شارپ 3.07 مقدار خوبی از این شاخص را ثبت کرده بود که آن هم  مقادیر خوبی از MAE  و MFE تداشت.

GHPR  معاملات عمدتا بین 1.5 تا 3 درصد بود، همچنین برنده دارای بیشترین مقدار این شاخص نبود، هرچند که کمترین مقدار را هم نداشت.حد بالای GHPR  برابر با 12.77 درصد بود که خبر از یا نانرمالی در سیستم معاملاتی میداد. ما میتوانستیم بالاترین مقدار نوسان و خطای استاندارد رگرسیون را در اکانت مذکور ببینیم($9 208.08.).

درباره 15 شرکت کنندخ برتر مسابقات، پارامتر عدد Z مطلب خاص قابل تعمیمی برای گفتن نداشت. اما مقدار   |Z|>2.0 توجه را به سمت وابستگی بین معاملات یک اکانت جلب میکرد. بنابراین متوجه میشویم که Z=-3.8 برای اکانت  Rich’sبه سبب باز بودن همزمان سه پوزیشن بوده است. درباره اکانت  ldamiani’sچطور؟

درنهایت آخرین ستون جدول مربوط به Money Compounding است که مقادیر آن بین 8 تا 50 است. 50، بالاترین حد این مسابقات بود. چرا که حدتکثر حجم مجاز معامله 5 لات است که 50 برابر بزرگ تر از 0.1 لات میباشد. اما این پارامتر هم برای اکانت برنده بزرگترین مقدار نبود.

سه اول به ترتیب دارای مقادیر 17.17 و 28.79 و 16.54 هستند. یعنی برنده از حداکثر حجم مجاز استفاده نکرده اند؟ بله، استفاده نکرده اند. موضوع این است که وقتی بطور کلی حجم همه معاملات را بالا میبریم، روش های مدیریت سرمایه عملا کارایی خود ر ازدست میدهند. این مطلب گواه این است که مدیریت سرمایه در سیستم های معاملاتی بسیار حیاتی ست.(در واقع منظور این ست که با استفاده از روش های مدیریت سرمایه و در صورت تایید آن روش ها اقدام به بالا بردن حجم معاملات کنید)

نفری که در جایگاه پانزدهم قرار دارد، payday. اکسپرت این شرکت کننده نمیتواند معامله ای را با سایز بزرگتر از 1     لات باز کند، علت آن نیز یک اشتباه گوچه در کد نویسی است.

چه اتفاقی می افتاد اگر این اشتباه رخ نمیداد؟ آیا حجم پوزیشن ها تا 5 برابر میتوانست بزرگتر شود، یعنی 5 لات؟ و آیارسود هم به تبعیت از حجم از 4588.90 $ به 22944.50 $ میرسید؟ آیا شرکت کننده در این صورت از رتبه 15 به رتبه 2 می آمد یا ممکن بود به سبب افزایش ریسک، یک افت سرمایه غیر قابل جبران را تجربه کند؟ آیا  alexgomel میتوانست نفر اول باشد؟ اکسپرت او نیز دارای حجم 1 لات در هر معامله بود. و آیا  vgc میتوانست نفر اول باشد؟ کسی که سیستم معاملاتی اش دارای بیشترین دفعات باز کردن پوزیشن هایی با حجم زیر 1 لات است.

همه این سه اکانت دارای نمودارهای بالانس مناسب و خوبی بودند. مسابقات ادامه خواهد داشت، با اینکه این بار به پایان رسید.

نتیجه گیری:  تر و خشک را باهم نسوزانید

نظرات متفاوت است و این مقاله یک دید بسیار کلی درباره ارزیابی سیستم های معاملاتی به شما می دهد. ممکن است کسی شاخص های زیاد دیگری برای ارزیابی نتایج معاملات پیدا کند. هر شاخص بخشی از کار را ارزیابی می کند و نمی تواند برآورد کاملی در اختیار ما بگذارد. اما وقتی این شاخص ها با هم ترکیب می شوند و در کنار هم قرار می گیرند کمک می کنند تا از رویکردهای غلط جلوگیری شود.

می توانیم با بررسی نتایج مثبت معاملات به برخی نکات منفی درباره آن سیستم پی ببریم. در واقع همه شاخص ها نقاط مثبت و اثربخش سیستم ها را توصیف نمی کنند، بلکه گاهی نقاط ضعف استراتژی ها را عیان می کنند تا صرفا از سودده بودن یک سیستم معاملاتی راضی نباشید.

ما نمی توانیم یک سیستم معاملاتی کاملا ایده آل بسازیم. هر سیستمی نقاط ضعف و قوت خودش را دارد. ارزیابی سیستم به منظور رد کردن آن سیستم انجام نم یشود بلکه سبب توسعه و پیشرفت اکسپرت یا سیستم معاملاتی می شود. در این رابطه اطلاعات آماری مسابقات معاملات اتوماتیک سال 2006 می تواند کمک شایانی به معامله گران بکند.

https://www.mql5.com/en/articles/1492